§1 §2 §3 §4 §5 §6
Слайд 1 из 10

Скорость как производная пути

s(t) — путь
→
v(t) = s′(t)

Скорость — это производная пути по времени. Это не метафора: именно так определяется мгновенная скорость в физике.

Пример: s(t) = t³ − 6t (м)
Тело останавливается когда v(t) = 0:
ПОЛОЖЕНИЕ ТЕЛА s(t)
t s √2 s_min s(t) v=0
Слайд 2 из 10

Ускорение — производная скорости

s(t) — путь
→
v(t) = s′(t) — скорость
→
a(t) = v′(t) = s″(t)
ЦЕПОЧКА ДЛЯ s = t³ − 6t
Вычислить a(2):
Физический смысл a > 0 — тело ускоряется; a < 0 — замедляется. В точке t=2 скорость растёт.
Вторая производная s″(t) — это ускорение. Знак a(t) показывает, меняет ли скорость тело нарастает или убывает в данный момент.
Пример из физики: свободное падение. s = g·t²/2 → v = g·t → a = g = const. Ускорение постоянно.
Обозначения: s′(t) = ds/dt;   s″(t) = d²s/dt²
Слайд 3 из 10

Направление движения: знак скорости

Тело движется «вперёд», если v(t) > 0.
Тело движется «назад», если v(t) < 0.
Это задача на знак производной — как в Д3.

Для s(t) = t³ − 6t:
Для t ≥ 0 тело сначала (до t=√2) движется «назад» — то есть s уменьшается. Потом разворачивается.
ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ ДЛЯ v(t) ПРИ t ≥ 0
0 √2 − + t v:
Та же техника, что в Д3: найти нули производной, определить знак на промежутках.
Слайд 4 из 10

Задачи на оптимизацию

Оптимизация — нахождение наилучшего значения (максимального или минимального) при заданном ограничении.

Например: максимальная площадь при фиксированном периметре. Или минимальная стоимость при заданном объёме производства.
Общая схема:
Есть переменная x (которую мы выбираем) и функция f(x) (что мы оптимизируем). Нужно найти значение x, дающее max или min.
Ключевая идея: если функция f(x) дифференцируема, её максимум или минимум достигается либо в нуле производной f′(x) = 0, либо на границе области допустимых значений.
Это прямое применение алгоритма из Д4: нули f′ → кандидаты на экстремум → проверка знаком. Добавляем только один шаг: составить f(x) по условию задачи.
Слайд 5 из 10

Алгоритм оптимизации

1
Выбрать переменную x и записать ограничение
Определить, что именно меняется и в каком диапазоне
2
Записать оптимизируемую величину через x
Выразить площадь, прибыль, стоимость и т.д. как функцию f(x)
3
Использовать ограничение: свести к одной переменной
Если связаны два параметра — выразить один через другой и подставить
4
Найти f′(x) = 0, определить знак → найти экстремум
Алгоритм Д4: числовая прямая знаков f′
5
Проверить граничные значения x
Если задана область [a; b], сравнить f(x₀) с f(a) и f(b)
Слайд 6 из 10

Пример 1 — Максимальная площадь

Задача: прямоугольный участок огородить забором длиной 40 м. Найти размеры, при которых площадь наибольшая.
Переменная x = длина стороны l
Функция площади
Производная = 0
Проверка: S(0)=0, S(20)=0, S(10)=100 — максимум ✓
СХЕМА УЧАСТКА
l l 20−l 20−l S = l·(20−l)
ОТВЕТ
Квадрат — оптимальная фигура при фиксированном периметре.
Слайд 7 из 10

Пример 2 — Максимальная прибыль

Задача: компания продаёт x тыс. единиц товара/месяц. Цена единицы = (8 − x) тыс. руб. Найти объём продаж, при котором выручка максимальна.
(Цена падает с ростом предложения: чем больше продаём, тем ниже цена. Область: x ∈ [0; 8].)
Выручка как функция x
Производная = 0
Проверка: P(0)=0, P(8)=0 — края нулевые; x=4 — максимум ✓
ОТВЕТ
Оптимальный объём — 4 тыс. единиц. Цена = 8−4 = 4 тыс. руб. за единицу.
Функция P(x) = 8x−x² — парабола, ветви вниз. Максимум ровно посередине отрезка нулей [0; 8].
Задачи такого типа встречаются в ЕГЭ (профиль, задание 15) как «оптимизация в экономическом контексте».
Слайд 8 из 10

Пример 3 — Задача из биологии

Задача: численность популяции (в сотнях) задана формулой P(t) = 100t − 5t², где t — время в годах. Когда популяция максимальна и чему равна?
Модель популяции
Производная = 0
Проверка знака P′ = 100−10t > 0 при t<10 (рост), < 0 при t>10 (спад) → максимум ✓
ОТВЕТ
Максимум достигается через 10 лет: 500 сотен = 50 000 особей.
P(0) = 0 и P(20) = 0. Популяция появляется, достигает пика на t=10 и вымирает к t=20.
Та же математика работает для концентрации лекарства в крови, запасов вещества в реакции, вылова рыбы.
Слайд 9 из 10

Серия Д: итоговая карта

Д1 — «Что это»
Предел. Геометрический смысл. Мгновенная скорость. Знак производной.
Д2 — «Как считать»
Таблица производных. Правила: сумма, произведение, частное, сложная функция.
Д3 — «Поведение функции»
Знак f′ → монотонность. Числовая прямая. Промежутки возрастания/убывания.
Д4 — «Экстремумы»
Стационарные точки. Смена знака f′. Наибольшее и наименьшее на отрезке.
Д5 — «Касательная»
y = f(x₀) + f′(x₀)·(x−x₀). Четыре типа задач (А–Г). Внешняя точка.
Д6 — «Задачи»
Физика: v = s′, a = v′. Оптимизация. Параметры. Профиль ЕГЭ.
Что дальше?  Интеграл — обратная операция к дифференцированию: если производная даёт скорость изменения, то интеграл восстанавливает величину по её скорости. Первообразная, площадь криволинейной трапеции, формула Ньютона — Лейбница.