§1 §2 §3 §4 §5 §6
Слайд 1 из 13

Зачем нам правила?

Давайте посчитаем по определению (через предел):

По определению — три строки алгебры
Шаг 1:
Шаг 2:
Шаг 3: берём предел при h → 0  → 
С правилами тот же результат — одна строка: 

Правила — это «готовые ответы» для часто встречающихся структур. Выучить таблицу и три правила → считать производную за 30 секунд.

Слайд 2 из 13

Таблица производных

Константа
=
Синус
=
Степень
=
Косинус
=
Корень
=
Тангенс
=
e в степени
=
a в степени
=
Логарифм
=

Эту таблицу нужно знать наизусть. Она короткая — всего 9 строк. Остальное строится из правил.

Слайд 3 из 13

Правило суммы (и разности)

Правило
Пример — полином
Дифференцируем каждое слагаемое:
Почему это работает?
Предел суммы = сумма пределов.
Вынести «+» за знак предела — это разрешено.
Поэтому производную считаем по слагаемым отдельно.

Правило суммы — рабочая лошадка. Любой многочлен берётся за несколько секунд: дифференцируем каждое слагаемое и складываем.

Слайд 4 из 13

Константа выносится за знак производной

Правило
Пример
Константу 3 выносим, применяем таблицу:
Частая ошибка
Ошибка: степень не уменьшилась на 1.
Правило степени: показатель уходит вперёд и уменьшается на 1.
Слайд 5 из 13

Правило произведения

Правило
✗ Распространённое заблуждение
Кажется, что
Возьмём f = x², g = x³, тогда fg = x⁵.
Результат:
«Наивный» способ:
✓ По правилу

= 2x·x³ + x²·3x² = 2x⁴ + 3x⁴ = 5x⁴ ✓
Другой пример:
Слайд 6 из 13

Правило частного

Правило
Мнемоника
Числитель: f′g − fg′ (минус, не плюс!)
Знаменатель: g² (знаменатель в квадрате)
Пример
f = sin x, g = x

Правило частного редко встречается в базовом ЕГЭ, но необходимо в профильном. Запомните знак «минус» в числителе — именно там все ошибаются.

Слайд 7 из 13

Сложная функция — цепное правило

Самое важное правило ЕГЭ
Как это читать
f(g(x)) — внешняя функция от внутренней.
Шаг 1: берём производную внешней, но оставляем внутренний аргумент.
Шаг 2: умножаем на производную внутренней.
Первый пример
внешняя: sin(□), внутренняя: x²
= cos(x²) · 2x

В ЕГЭ >40% задач на производную требуют цепного правила. Научитесь видеть «внешнюю» и «внутреннюю» функцию — это ключевой навык.

Слайд 8 из 13

Цепное правило — три примера

1
Внешняя: □¹⁰ → производная 10□⁹  |  Внутренняя: x²+1 → производная 2x
2
Внешняя: sin(□) → производная cos(□)  |  Внутренняя: 3x → производная 3
3
Внешняя: e^□ → производная e^□ (не меняется!)  |  Внутренняя: x² → производная 2x
Слайд 9 из 13

Алгоритм дифференцирования

1
Определить структуру
Что это? Сумма? Произведение? Дробь? Сложная функция?
Смотрим на «крупную» операцию последней: a³ − b → разность, a · b → произведение, f(g) → сложная
2
Применить нужное правило
Каждое правило — шаблон. Подставляем в него части функции
Сумма → слагаемые отдельно
Произведение → f′g + fg′
Цепное → f′(g)·g′
3
Упростить ответ
Привести подобные, сократить дробь, раскрыть скобки если нужно
Не всегда нужно. Если задача требует только производную — простой вид необязателен
!
Сложные функции вложены
Иногда нужно применить несколько правил подряд
Пример: (x²·sin(3x))′ — сначала правило произведения, затем цепное для sin(3x)
Слайд 10 из 13

Тренировка — 6 задач

Уровень А · 1
Уровень А · 2
Уровень Б · 1
Уровень Б · 2
Уровень В · 1
Уровень В · 2

Ответы видны сразу — сначала попробуйте устно, потом проверьте. Уровень В — цепное правило.

Слайд 11 из 13

Три главные ошибки

✗ Ошибка 1 — произведение
✓ Верно
✗ Ошибка 2 — забытая внутренняя функция
✓ Верно — умножить на производную внутренней
✗ Ошибка 3 — производная константы
✓ Верно
Слайд 12 из 13

Что дальше?

Сейчас мы умеем:
Таблица производных · Правило суммы · Константа · Произведение · Частное · Цепное правило
→
Д3 — «Где функция растёт, а где падает»
Знак производной f′(x) показывает направление движения графика. Умея считать f′, мы теперь можем исследовать любую функцию — не рисуя её.
Главная идея Д3: 

gordeev-math.ru  ·  Гордеев С.В.  ·  Серия Д, презентация 2 из 6

Слайд 13 из 13

Тренажёр — Правила дифференцирования

Задания