Отношения, пропорции, проценты — Математика 7 класс

Отношения, пропорции,
проценты

П2 · 7 класс · Повторение курса 6 класса

отношение чисел пропорция основное свойство неизвестный член прямая зависимость обратная зависимость процент задачи на %

Тема 1 из 6

Отношение чисел

Отношение числа a к числу b — это частное a ÷ b (при b ≠ 0).
Запись: a : b или ab. Значение отношения — число.

Сокращение a : b = (a · k) : (b · k) при любом k ≠ 0

12 : 8 = 128 = 32 = 1,5

0,6 : 0,9 = 69 = 23

Класс: 14 мальчиков, 16 девочек.
Отношение: 14 : 16 = 7 : 8

Скорость 90 км/ч к 60 км/ч
= 90 : 60 = 3 : 2

Тема 2 из 6

Пропорция

Пропорция — равенство двух отношений: ab = cd или a : b = c : d
a, d — крайние члены · b, c — средние члены

Осн. свойство a · d = b · c (произведение крайних = произведению средних)

Верна ли пропорция?
3 : 5 = 12 : 20
3 · 20 = 60, 5 · 12 = 60 ✓ Верна

Верна ли пропорция?
7 : 4 = 21 : 11
7 · 11 = 77, 4 · 21 = 84 ≠ Нет

Тема 3 из 6

Нахождение неизвестного члена

Из основного свойства a · d = b · c находим любой неизвестный член:

Крайний член x

x : b = c : d
x · d = b · c
x = b · c ÷ d

            x : 6 = 10 : 4

            x = 6 · 10 ÷ 4 = 15

Средний член x

a : x = c : d
a · d = x · c
x = a · d ÷ c

            9 : x = 3 : 7

            x = 9 · 7 ÷ 3 = 21

Найди x: x : 8 = 3 : 4 → x = 6

Найди x: 5 : x = 15 : 21 → x = 7

Тема 4 из 6

Виды пропорциональности

Прямая пропорциональность

При увеличении x в k раз — y тоже в k раз.

y / x = const

Пример: скорость постоянна —
путь ↑ → время ↑

Обратная пропорциональность

При увеличении x в k раз — y уменьш. в k раз.

x · y = const

Пример: путь постоянен —
скорость ↑ → время ↓

Ситуация	Тип зависимости	Решение через пропорцию
4 рабочих делают за 6 дней. Сколько дней — 3 рабочих?	Обратная	4 · 6 = 3 · x → x = 8
5 кг стоят 400 р. Сколько стоят 8 кг?	Прямая	5 : 8 = 400 : x → x = 640

Тема 5 из 6

Процент

1% — одна сотая часть числа. 1% = 1100 = 0,01

P% от числа a

x = a · P100

Число по его P%

a = x · 100P

            25% числа равны 15:

            a = 15 ·
            10025
            = 60
          

Перевод % → дробь: делим на 100 | дробь → %: умножаем на 100

Тема 6 из 6

Задачи на проценты
через пропорцию

Универсальный приём: составляем пропорцию из двух пар «число — %»

Найти P% от a

a — 100%
x — P%
──────────
x = a · P ÷ 100

Найти число по P%

a — 100%
b — P%
──────────
a = b · 100 ÷ P

Задача

В школе 600 учеников. 45% из них занимаются спортом. Сколько учеников занимаются спортом?
600 — 100% x — 45%
x = 600 · 45 ÷ 100 = 270 учеников

Задача

После скидки 20% товар стоит 640 рублей. Какова первоначальная цена?
640 р. — 80% a — 100%
a = 640 · 100 ÷ 80 = 800 рублей

Проверь себя

Задание 1

Найдите значение отношения:
а) 36 : 48 = ?
б) 1,5 : 0,6 = ?

Задание 2

Найдите неизвестный член:
а) x : 6 = 8 : 12 → x = ?
б) 5 : x = 15 : 18 → x = ?

Задание 3

Вычислите:
а) 40% от 90 = ?
б) Число, 30% которого равны 24 = ?

Задание 4 — задача

4 кг яблок стоят 280 р.
Сколько стоят 7 кг тех же яблок?
Составьте пропорцию.

Проверь себя — ответы

Решение и ответы

Задание 1

а) 36 : 48 = 3 : 4
б) 1,5 : 0,6 = 15 : 6 = 5 : 2

Задание 2

а) x · 12 = 6 · 8 = 48 → x = 4
б) 5 · 18 = x · 15 = 90 → x = 6

Задание 3

а) 90 · 40 ÷ 100 = 36
б) 24 · 100 ÷ 30 = 80

Задание 4 — решение

Прямая зависимость.
4 : 7 = 280 : x
x = 7 · 280 ÷ 4 = 490 р.

Итоги урока

Что повторили

Понятие	Ключевая формула / правило
Отношение a : b	= a ÷ b, можно сокращать как дробь
Пропорция a : b = c : d	a · d = b · c
Неизвестный крайний x	x = b · c ÷ d
Неизвестный средний x	x = a · d ÷ c
P% от числа a	x = a · P ÷ 100
Число по его P%	a = b · 100 ÷ P

Пропорция — главный инструмент ad = bc 1% = 1/100

Тренажёр

Генератор задач · Пропорции

Отношения, пропорции, прямая и обратная зависимость, проценты — 9 типов

Нажми «Новый вариант», чтобы получить 5 задач